Das archimedische Prinzip besagt, dass die nach oben gerichtete Auftriebskraft, die auf einen ganz oder teilweise in eine Flüssigkeit eingetauchten Körper ausgeübt wird, gleich dem Gewicht der Flüssigkeit ist, die der Körper verdrängt.
Das archimedische Prinzip ist ein physikalisches Grund gesetz der Strömungsmechanik. Es wurde von Archimedes von Syrakus formuliert.
Erläuterung
In seinem Werk "Über schwimmende Körper" schlug Archimedes (ca. 246 v. Chr.) vor, dass
"Jeder Gegenstand, der ganz oder teilweise in eine Flüssigkeit eingetaucht ist, wird durch eine Kraft aufgetrieben, die gleich dem Gewicht der vom Gegenstand verdrängten Flüssigkeit ist."
Mit dem archimedischen Prinzip lässt sich der Auftrieb jedes schwimmenden Gegenstands, der ganz oder teilweise in eine Flüssigkeit eingetaucht ist, berechnen.
Die nach unten gerichtete Kraft, die auf das Objekt wirkt, ist einfach sein Gewicht. Die nach oben gerichtete Kraft, d. h. die Auftriebskraft, die auf das Objekt einwirkt, ist die Kraft, die sich aus dem oben genannten archimedischen Prinzip ergibt. Die Nettokraft, die auf das Objekt wirkt, ist also die Differenz zwischen der Auftriebskraft und dem Gewicht des Objekts. Ist diese Nettokraft positiv, so steigt das Objekt, ist sie negativ, so sinkt es, und ist sie gleich Null, so ist das Objekt neutral schwimmend, d. h. es bleibt an seinem Platz, ohne zu steigen oder zu sinken.
Einfach ausgedrückt besagt das archimedische Prinzip, dass ein Körper, der ganz oder teilweise in eine Flüssigkeit eingetaucht ist, einen scheinbaren Gewichtsverlust erleidet, der dem Gewicht der Flüssigkeit entspricht, die durch den eingetauchten Teil des Körpers verdrängt wird.
Formel
Man betrachte einen Quader, der in eine Flüssigkeit eingetaucht ist und dessen Ober- und Unterseite orthogonal zur Richtung der Schwerkraft stehen (die über die gesamte Ausdehnung des Würfels als konstant angenommen wird). Die Flüssigkeit übt auf jede Fläche eine Normalkraft aus, aber nur die Normalkräfte auf Ober- und Unterseite tragen zum Auftrieb bei. Der Druckunterschied zwischen der Unter- und der Oberseite ist direkt proportional zur Höhe (Unterschied in der Eintauchtiefe).
Multipliziert man die Druckdifferenz mit der Fläche einer Seite, so erhält man eine Nettokraft auf den Quader - den Auftrieb -, die der Größe nach dem Gewicht der vom Quader verdrängten Flüssigkeit entspricht. Durch Aufsummieren hinreichend vieler, beliebig kleiner Quader kann diese Überlegung auf unregelmäßige Formen ausgedehnt werden, so dass die Auftriebskraft unabhängig von der Form des untergetauchten Körpers gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit ist.
Gewicht der verdrängten Flüssigkeit = Gewicht des Objekts im Vakuum - Gewicht des Objekts in der Flüssigkeit
Das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit ist direkt proportional zum Volumen der verdrängten Flüssigkeit (wenn die umgebende Flüssigkeit eine gleichmäßige Dichte hat). Das Gewicht des Objekts in der Flüssigkeit verringert sich aufgrund der auf es wirkenden Kraft, die als Auftrieb bezeichnet wird.
Vereinfacht ausgedrückt besagt das Prinzip, dass die Auftriebskraft (Fb) auf ein Objekt gleich dem Gewicht der vom Objekt verdrängten Flüssigkeit oder der Dichte (ρ) der Flüssigkeit multipliziert mit dem eingetauchten Volumen (V) mal der Schwerkraft (g) ist.
Wir können diese Beziehung in der folgenden Gleichung ausdrücken:
Fa = pgV
wobei Fa die auf das eingetauchte Objekt wirkende Auftriebskraft, p die Dichte der Flüssigkeit, V das Volumen der verdrängten Flüssigkeit und g die Erdbeschleunigung angegeben sind. Bei vollständig untergetauchten Objekten mit gleicher Masse haben also Objekte mit größerem Volumen einen größeren Auftrieb.
Angenommen, das Gewicht eines Steins wird mit 10 Newton gemessen, wenn er an einer Schnur im Vakuum aufgehängt ist und die Schwerkraft auf ihn wirkt. Wenn der Stein ins Wasser abgesenkt wird, verdrängt er Wasser mit einem Gewicht von 3 Newton. Die Kraft, die er dann auf die Schnur ausübt, an der er hängt, beträgt 10 Newton abzüglich der 3 Newton Auftriebskraft: 10 - 3 = 7 Newton. Der Auftrieb verringert das scheinbare Gewicht von Gegenständen, die vollständig auf den Meeresboden gesunken sind. Es ist im Allgemeinen leichter, einen Gegenstand durch das Wasser zu heben, als ihn aus dem Wasser zu ziehen.
Beispiele
Eisberg
Stellen Sie sich ein Stück reines Eis bei 0 °C vor, das im Meerwasser schwimmt. Sei ρS = 0,917 g/cm3 und ρL = 1,025 g/cm3 (wir hätten ρL = 1,000 g/cm3 für reines Wasser bei 3,98 ° C ).
Der Quotient ρS/ρL (d. h. die relative Dichte ) beträgt 0,895, sodass das untergetauchte Volumen Vi knapp 90 % des Gesamtvolumens V des Eisbergs ausmacht.
Eiswürfel
Es lässt sich leicht nachweisen, dass das Schmelzen eines auf reinem Wasser schwimmenden Stücks reines Eis ohne Änderung des Wasserspiegels erfolgt. Das eingetauchte Eisvolumen entspricht tatsächlich dem Volumen an flüssigem Wasser, das erforderlich ist, um dem Gewicht des Eiswürfels zu entsprechen. Beim Schmelzen produziert der Eiswürfel (durch Massenerhaltung) genau diese Wassermenge, die „das Loch stopft, das durch das Verschwinden des festen Eises entstanden ist“. Der Wasserstand bleibt gleich. In der nebenstehenden Abbildung ist das durch gestrichelte Linien begrenzte Volumen im Glas links das Volumen des untergetauchten Eises und im Glas rechts das Volumen des flüssigen Wassers, das beim Schmelzen des Eiswürfels entsteht.

Das Volumen des untergetauchten Eises entspricht der Wassermenge, die beim Schmelzen des Eiswürfels entsteht.
Wir können auch die folgende Rechnung durchführen: Betrachten wir beispielsweise einen Eiswürfel mit einer Größe von 1 cm3 und einer Dichte von 0,917 g·cm-3 (der also 0,917 g Wasser enthält), beträgt das eingetauchte Volumen 0,917 cm3 (wie bei einem Eisberg befindet sich das meiste davon unter Wasser). Wenn der Eiswürfel geschmolzen ist, nehmen diese 0,917 g Wasser, die nun eine Dichte von 1 g cm-3 haben , genau das Volumen ein, das der untergetauchte Teil des Eiswürfels einnimmt.
U-Boot
U-Boote steuern ihren Auftrieb auf ähnliche Weise mithilfe von Trimmkästen, deren Füllstand angepasst wird, um das Gewicht des U-Boots beim Tauchen entsprechend der Eintauchtiefe, dem Salzgehalt und der Temperatur des Meerwassers auszugleichen. In einem U-Boot ist der Begriff Ballast für andere, nicht regulierbare Kästen reserviert, die vollständig mit Luft gefüllt sind, um das U-Boot über Wasser zu halten, und vollständig mit Wasser gefüllt sind, wenn das U-Boot auf Tauchgang ist.
Eureka
Geschichte
Archimedes war ein griechischer Gelehrter, der ab 287 v. Chr. in Syrakus auf Sizilien lebte war bekannt für seine zahlreichen wissenschaftlichen, theoretischen und praktischen Arbeiten, sei es in der Mathematik oder der Physik.
Der Geschichtsschreiber Vitruv berichtet, dass König Hiero II. von Syrakus (306-214) seinen jungen Freund und wissenschaftlichen Berater Archimedes (damals 22 Jahre alt) bat, zu überprüfen, ob eine goldene Krone, die er als Opfergabe an Zeus angefertigt hatte, vollständig aus Gold bestand oder ob die Handwerker auch Silber verwendet hatten. Die Überprüfung hatte natürlich die Einschränkung, dass die Krone nicht beschädigt werden durfte. Auch war dessen Form zu komplex, um das Volumen des Ornaments zu berechnen.
Der Überlieferung nach hatte Archimedes schließlich den rettenden Einfall, als er zum Baden in eine bis zum Rand gefüllte Wanne stieg und dabei das Wasser überlief. Er erkannte, dass die Menge Wasser, die übergelaufen war, genau seinem Körpervolumen entsprach.
Angeblich lief er dann, nackt wie er war, durch die Straßen und rief „Eureka!“ („Ich habe es gefunden“).
Da Gold etwa doppelt so dicht ist wie Silber, führt der Ersatz von 10 % der Masse Gold durch Silber zu einer Volumenzunahme von 10 %. Das Volumen einer Krone aus 1 kg Gold beträgt nur etwas mehr als 50 cm3 und der Ersatz von 10 % Gold durch Silber ergibt nur einen Unterschied von etwa 4,34 cm3 (die Wassermenge in einem Teelöffel).
Die so von Vitruv beschriebene Methode hat zwei Nachteile. Das erste ist, dass das Prinzip von Archimedes in keiner Weise involviert ist. Das zweite Problem besteht darin, dass unter realistischen Bedingungen der Unterschied des verdrängten Wasservolumen sehr gering ist und auch störenden Einflüssen in der Durchführung des Experiments unterliegt. Daher ist es unwahrscheinlich, dass Archimedes aus einem solchen Experiment sinnvolle Schlussfolgerungen hätte ziehen können.
Waage
Während er in der weit verbreiteten Erzählung das archimedische Prinzip nicht anwandte und das verdrängte Wasser nur zur Messung des Volumens der Krone verwendete, gibt es eine alternative Vorgehensweise, bei der das Prinzip zum Einsatz kommt.

Der Auftrieb ermöglicht die Konstruktion der hydrostatischen Waage, mit der Goldschmiede im Mittelalter die Dichte von Gold- und Silberlegierungen analysierten.
Die Krone und das reine Gold auf einer Waage in der Luft ausbalancieren und dann die Waage ins Wasser stellen. Nach dem archimedischen Prinzip gerät die Waage unter Wasser aus dem Gleichgewicht, wenn die Dichte der Krone von der Dichte des reinen Goldes abweicht.